题目内容

4.C是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)上位于第一象限内的点,A是椭圆的右顶点,F是椭圆的右焦点,且OC=CF.当OC⊥AC时,椭圆的离心率为$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$.

分析 由题意,设C($\frac{c}{2}$,y),则$\frac{y}{\frac{c}{2}}•\frac{y}{\frac{c}{2}-a}=-1$,可得C的坐标,利用OC⊥AC时,得椭圆的离心率.

解答 解:由题意,设C($\frac{c}{2}$,y),则$\frac{y}{\frac{c}{2}}•\frac{y}{\frac{c}{2}-a}=-1$,
∴y2=-$\frac{1}{4}$c2+$\frac{1}{2}$ac,
∵$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$,
∴y2=b2-$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}$,
∴b2-$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$c2+$\frac{1}{2}$ac,
化简可得e=$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$.
故答案为:$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$.

点评 本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.

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