题目内容
4.C是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)上位于第一象限内的点,A是椭圆的右顶点,F是椭圆的右焦点,且OC=CF.当OC⊥AC时,椭圆的离心率为$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$.分析 由题意,设C($\frac{c}{2}$,y),则$\frac{y}{\frac{c}{2}}•\frac{y}{\frac{c}{2}-a}=-1$,可得C的坐标,利用OC⊥AC时,得椭圆的离心率.
解答 解:由题意,设C($\frac{c}{2}$,y),则$\frac{y}{\frac{c}{2}}•\frac{y}{\frac{c}{2}-a}=-1$,
∴y2=-$\frac{1}{4}$c2+$\frac{1}{2}$ac,
∵$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$,
∴y2=b2-$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}$,
∴b2-$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$c2+$\frac{1}{2}$ac,
化简可得e=$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$.
故答案为:$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$.
点评 本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.
练习册系列答案
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12.已知点F(1,0),直线l:x=-1,动点P到点F的距离等于它到直线l的距离.
(1)试判断点P的轨迹C的形状,并写出其方程;
(2)若曲线C与直线m:y=x-1相交于A、B两点,求△OAB的面积.
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9.下列关于随机抽样的说法不正确的是( )
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D. | 当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样 |
3.当双曲线C不是等轴双曲线时,我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”.则离心率为$\sqrt{3}$的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为( )
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