Question

4．C是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上位于第一象限内的点，A是椭圆的右顶点，F是椭圆的右焦点，且OC=CF．当OC⊥AC时，椭圆的离心率为$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$．

Answer 1

分析 由题意，设C（$\frac{c}{2}$，y），则$\frac{y}{\frac{c}{2}}•\frac{y}{\frac{c}{2}-a}=-1$，可得C的坐标，利用OC⊥AC时，得椭圆的离心率．

解答 解：由题意，设C（$\frac{c}{2}$，y），则$\frac{y}{\frac{c}{2}}•\frac{y}{\frac{c}{2}-a}=-1$，
∴y²=-$\frac{1}{4}$c²+$\frac{1}{2}$ac，
∵$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴y²=b²-$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}$，
∴b²-$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$c²+$\frac{1}{2}$ac，
化简可得e=$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$．
故答案为：$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．