题目内容
8.(1)求函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[2sin(2x+$\frac{π}{4}$)+$\sqrt{2}$]的定义域(2)求函数y=tan2x-4tanx+3,x∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]的值域.
分析 (1)转化为不等式sin(2x$+\frac{π}{4}$)$>-\frac{\sqrt{2}}{2}$,求解即可2kπ$-\frac{π}{4}$$<2x+\frac{π}{4}$<2kπ$+\frac{5π}{4}$,k∈z
(2)求解得出1≤tanx$≤\sqrt{3}$,x∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$],利用换元法转化为二次函数求解.
解答 解:(1)∵函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[2sin(2x+$\frac{π}{4}$)+$\sqrt{2}$]
∴2sin(2x+$\frac{π}{4}$)+$\sqrt{2}$>0,
sin(2x$+\frac{π}{4}$)$>-\frac{\sqrt{2}}{2}$,
即2kπ$-\frac{π}{4}$$<2x+\frac{π}{4}$<2kπ$+\frac{5π}{4}$,k∈z
∴函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[2sin(2x+$\frac{π}{4}$)+$\sqrt{2}$]的定义域:{x|2kπ$-\frac{π}{4}$$<2x+\frac{π}{4}$<2kπ$+\frac{5π}{4}$,k∈z}
(2)∵1≤tanx$≤\sqrt{3}$,x∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$],
∴y=t2-4t+3,t∈[1,$\sqrt{3}$]
∴y大=1-4+3=0,y小=3-4$\sqrt{3}+3$=6-4$\sqrt{3}$.
∴值域:[6-4$\sqrt{3}$,0]
点评 本题考查了三角函数,二次函数的单调性,求解函数的最大值,最小值问题,属于中档题.
练习册系列答案
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