题目内容
【题目】已知函数的图象在点
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求实数、
的值;
(Ⅱ)求函数在区间
上的最大值;
(Ⅲ)曲线上存在两点
、
,使得
是以坐标原点
为直角顶点的直角三角形,且斜边
的中点在
轴上,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当
时
在[-1,2]上的最大值为2,
当时
在[-1,2]上的最大值为
;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(1)利用导数几何意义: 可列等量关系.当
时,
所以
,又
所以
因此
(2)求分段函数最值,先分别讨论各区间函数最值,再比较大小,确定最值.当
时,由
得
或
,列表分析得
的最大值为
,当
时,
,需根据c的值确定函数最值,当
时,
恒成立,
,当
时,
的最大值为
,比较
与2的大小得:当
时,
在
上的最大值为
,当
时,
在
上的最大值为
(3)利用坐标探求等量关系,确定坐标所在位置是解题关键.根据条件
,
的横坐标互为相反数,不妨设
,
,
.若
,则
,有
,无解,若
,则
.有
,
取值范围是
(1)当时,
所以,又
所以因此
(2)当时,由
得
或
,列表得:
x | -1 | (-1,0) | 0 | 1 | |||
- | 0 | + | 0 | - | |||
2 | ↘ | ↗ | ↘ | 0 |
所以当时,
的最大值为
,
当时,
,
当时,
恒成立,
,
此时在
上的最大值为
;
当时,
在
上单调递增,且
.
令,则
,所以当
时,
在
上的最大值为
;
当时,
在
上的最大值为
.
综上可知,当时,
在
上的最大值为
;
当时,
在
上的最大值为
.
⑶,根据条件
,
的横坐标互为相反数,不妨设
,
,
.
若,则
,
由是直角得,
,即
,
即.此时无解;
若,则
.由于
的中点在
轴上,且
,所以
点不可能在
轴上,即
.同理有
,即
,
.由于函数
的值域是
,实数
的取值范围是
即为所求.
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【题目】国家“十三五”计划,提出创新兴国,实现中国创新,某市教育局为了提高学生的创新能力,把行动落到实处,举办一次物理、化学综合创新技能大赛,某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩(x)和化学成绩(y)进行回归分析,求得回归直线方程为y=1.5x﹣35.由于某种原因,成绩表(如表所示)中缺失了乙的物理和化学成绩.
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
物理成绩(x) | 75 | m | 80 | 85 |
化学成绩(y) | 80 | n | 85 | 95 |
综合素质 | 155 | 160 | 165 | 180 |
(1)请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n;
(2)在全市物理化学科技创新比赛中,由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共举行3场比赛,每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛,每场比赛所抽的选手中,只要有一名选手的综合素质分高于160分,就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章.若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ,试根据上表所提供数据,预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望.