Question

8．△ABC的三边长是三个连续的正整数，M为BC边中点，tanC=$\frac{1}{tan∠BAM}$，求△ABC的形状．

Answer 1

分析 假设∠BAM=α，∠MAC=β，根据正弦定理可找到α，β与B，C的正弦之间的关系，进而再由诱导公式可确定α与β的关系．

解答 解：设∠BAM=α，∠MAC=β，
则由tanC=cotα得α+C=90°∴β+B=90°
△ABM中，由正弦定理得$\frac{BM}{sinα}=\frac{AM}{sinB}$．
同理得$\frac{sinC}{sinβ}=\frac{AM}{MC}$，
∵MB=MC，∴$\frac{sinC}{sinβ}=\frac{sinB}{sinα}$，
∴sinαsinC=sinβsinB∵α+C=90°，β+B=90°，∴sinαcosα=sinβcosβ
即sin2α=sin2β，∴α=β或α+β=90°
当α+β=90°时，AM=$\frac{1}{2}$BC=MC，
与△AMC的三边长是连续三个正整数矛盾，
∴α=β，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．

点评 本题主要考查正弦定理的应用．三角形的判定，基本知识的考查．