Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，直线，过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点．

（1）求弦长的最小值；

（2）在直线上任取一点，当的斜率时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的弦长，可分类，当斜率不存在时，得弦长为，当斜率存在时，设直线的方程为，将的方程代入椭圆方程，得的一元二次方程：，从而有（也可解出），弦长为，这样可以把弦长用表示出来，求出其最小值或证明它大于，说明是最小值；（2）由向量的数量积定义可得，由于，由（1）可得中点的坐标，从而得方程，又得点坐标，最后得长，得数量积．

试题解析：（1）①当轴时，；

②当与轴不垂直时，设直线的方程为，将的方程代入椭圆方程，得，

则的坐标为，

且．

综合①、②知，弦长的最小值为

（2）若，则的坐标为，

点的坐标为，

∴

∴