Question

【题目】已知函数.

（1）当x∈[1，4]时，求函数的值域；

（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

【答案】（1） [0，2]. （2） （－∞，－3）.

【解析】试题分析：（1） 令t＝log2x，则函数h（x）转化为关于t 的二次函数：h（x）＝－2（t－1）2＋2 ，根据x∈[1，4]，得t∈[0，2]，结合对称轴与定义区间位置关系确定函数最值和值域（2） 令t＝log2x，则（3－4t）（3－t）>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，当t＝0时，k∈R；当t∈（0，2]时，利用变量分离法转化为对应函数最值：最小值，根据基本不等式求最值：即得实数k的取值范围

试题解析：（1）h（x）＝（4－2log2x）·log2x＝－2（log2x－1）2＋2，

因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，

故函数h（x）的值域为[0，2].

（2）由f（x2）·f（）>k·g（x），

得（3－4log2x）（3－log2x）>k·log2x，

令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，

所以（3－4t）（3－t）>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，

①当t＝0时，k∈R；

②当t∈（0，2]时，恒成立，即，因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为－3，

综上，k∈（－∞，－3）.