Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若，关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）若，解关于的不等式；

（Ⅲ）若，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在区间上恒成立，即在区间上恒成立．求在区间上的最小值即可．（Ⅱ）当时即，讨论当此不等式为一此不等式，当时此不等式为一元二次不等式，方程的两根为和1，需比较两根的大小再解不等式．（Ⅲ）属于线性规划问题，根据和可得的可行域，，表示动点与定点距离的平方，根据线性规划先求得即可．

试题解析：（Ⅰ）不等式化为，即，

即在区间上恒成立，2分

由二次函数图象可知，当时，有最小值，

所以的取值范围为．4分

（Ⅱ）当时，不等式化为，5分

① 当时，不等式解集为；6分

② 当时，不等式解集为；7分

③ 当时，不等式化为，

若，不等式解集为；

若，不等式解集为；

若，不等式解集为．

综上所述：

①当时，不等式解集为；

②当时，不等式解集为；

③当时，不等式解集为；

④当时，不等式解集为；

⑤当时，不等式解集为．10分

（Ⅲ）由题有作出如图所示的平面区域：

又，

因为表示动点与定点距离的平方，

所以，由图可知的范围为，13分

所以，的取值范围为．14分