题目内容
【题目】如图,在平行四边形中,
,
,现沿对角线
将
折起,使点A到达点P,点M,N分别在直线
,
上,且A,B,M,N四点共面.
(1)求证:;
(2)若平面平面
,二面角
平面角大小为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)根据余弦定理,可得,利用
//
,可得
//平面
,然后利用线面平行的性质定理,
//
,最后可得结果.
(2)根据二面角平面角大小为
,可知N为
的中点,然后利用建系,计算
以及平面
的一个法向量,利用向量的夹角公式,可得结果.
(1)不妨设,则
,
在中,
,
则,
因为,
所以,因为
//
,
且A、B、M、N四点共面,所以//平面
.
又平面平面
,所以
//
.
而,
.
(2)因为平面平面
,且
,
所以平面
,
,
因为,所以
平面
,
,
因为,平面
与平面
夹角为
,
所以,在
中,易知N为
的中点,
如图,建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则由,
令,得
.
设与平面
所成角为
,
则.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年来,随着国家综合国力的提升和科技的进步,截至2018年底,中国铁路运营里程达13,2万千米,这个数字比1949年增长了5倍;高铁运营里程突破2.9万千米,占世界高铁运营里程的60%以上,居世界第一位下表截取了2012--2016年中国高铁密度的发展情况(单位:千米/万平方千米).
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
高铁密度 | 9.75 | 11.49 | 17.14 | 20.66 | 22.92 |
已知高铁密度y与年份代码x之间满足关系式(
为大于0的常数)若对
两边取自然对数,得到
,可以发现
与
线性相关.
(1)根据所给数据,求y关于x的回归方程(保留到小数点后一位);
(2)利用(1)的结论,预测到哪一年高铁密度会超过30千米/平方千米.
参考公式设具有线性相关系的两个变量的一组数据为
,
则回归方程的系数:
,
.
参考数据:,
,
,
,
,
.
【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如表:
质量指标值m | 25≤m<35 | 15≤m<25或35≤m<45 | 0<m<15或45≤m<65 |
等级 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本,检测其质量指标值,得到下图的率分布直方图.(同一组数据用该区间的中点值作代表)
(1)该企业为提高产品质量,开展了质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品三等品数Y近似满足Y~H(10,15,100),请测算“质量提升月”活动后这种产品的“二等品率“(一、二等品其占全部产品百分比)较活动前提高多少个百分点?
(2)若企业每件一等品售价180元,每件二等品售价150元,每件三等品售价120元,以样本中的频率代替相应概率,现有一名联客随机购买两件产品,设其支付的费用为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.