题目内容
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=2．M，N分别是C1D1，CC1的中点．（1）求异面直线A1N与MC所成角的余弦值；
（2）设P为线段AD上任意一点，求证：MC⊥PN．
分析：（1）以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系．可得D、A、A1、C、M、N各点的坐标，从而得到向量
和
的坐标，利用空间向量的夹角公式算出
和
夹角的余弦之值，即可得到异面直线A1N与MC所成角的余弦；
（2）根据（1）所建立的坐标系，设P（x，0，0），从而得到
的坐标，再求出向量
的坐标，从而算得
•
=0，由此可得
⊥
，即得MC⊥PN成立．
| A1N |
| MC |
| A1N |
| MC |
（2）根据（1）所建立的坐标系，设P（x，0，0），从而得到
| PN |
| MC |
| MC |
| PN |
| MC |
| PN |
解答：解：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，DA、DC、DD1两两互相垂直，
∴以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系
可得D（0，0，0），A（2，0，0），A1（2，0，2），C（0，2，0），M（0，1，2），N（0，2，1）
∴向量
=（-2，2，-1），
=（0，1，-2）
根据空间向量的夹角公式，得cos＜
，
＞=
=
设异面直线A1N与MC所成角为θ
可得cosθ=|cos＜
，
＞|=
，即异面直线A1N与MC所成角的余弦值为
；
（2）由（1）中所建立的坐标系，得
∵P为线段AD上任意一点，
∴设P（x，0，0），其中x∈[0，2]
可得
=（-x，2，1）
∵
=（0，1，-2），
∴
•
=0×（-x）+1×2+（-2）×1=0
由此可得
⊥
，即P为线段AD上任意一点，都有MC⊥PN成立．
∴以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系
可得D（0，0，0），A（2，0，0），A1（2，0，2），C（0，2，0），M（0，1，2），N（0，2，1）
∴向量
| A1N |
| MC |
根据空间向量的夹角公式，得cos＜
| A1N |
| MC |
| ||||
|
|
4
| ||
| 15 |
设异面直线A1N与MC所成角为θ
可得cosθ=|cos＜
| A1N |
| MC |
4
| ||
| 15 |
4
| ||
| 15 |
（2）由（1）中所建立的坐标系，得
∵P为线段AD上任意一点，
∴设P（x，0，0），其中x∈[0，2]
可得
| PN |
∵
| MC |
∴
| MC |
| PN |
由此可得
| MC |
| PN |
点评：本题给出正方体棱的中点，求证直线与直线垂直并求异面直线所成角，着重考查了正方体的性质、空间垂直位置关系的证明和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题．
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