Question

（2013•东莞二模）已知函数g(x)=

1

3

ax3+2x2-2x，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，求实数a的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间．
（2）先f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得-

a

4

（x₁-x₂）²＜0，由此式即可求得实数a的取值范围；
（3）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．

解答：解：（1）当a=1时，g（x）=

1

3

x³+2x²-2x，g′（x）=x²+4x-2 …（1分）
由g′（x）＜0解得-2-

6

＜x＜-2+

6

        …（2分）
∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （-2-

6

，2+

6

）；…（3分）
（2）易知f（x）=g′（x）=ax²+4x-2
依题意知  f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a（

x1+x2

2

）²+4×

x1+x2

2

-2-

a x 2 1 +4x1-2+a x 2 2 +4x2-2

2

=-

a

4

（x₁-x₂）²＜0 …（5分）
因为x₁≠x₂，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax²+4x-2=a（x+

2

a

）²-2-

4

a

，a＞0．
显然f（0）=-2，由（2）知抛物线的对称轴x=-

2

a

＜0    …（7分）
①当-2-

4

a

＜-4即0＜a＜2时，M∈（-

2

a

，0）且f（M）=-4
令ax²+4x-2=-4解得  x=

-2± 4-2a

a

        …（8分）
此时M取较大的根，即M=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

…（9分）
∵0＜a＜2，∴M=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

＞-1     …（10分）
②当-2-

4

a

≥-4即a≥2时，M＜-

2

a

且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得 x=

-2± 4+6a

a

            …（11分）
此时M取较小的根，即 M=

-2± 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

…（12分）
∵a≥2，∴M=

-2± 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

≥-3当且仅当a=2时取等号  …（13分）
由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3  …（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．