Question

【题目】已知是定义在上的奇函数.

（1）当时， ，若当时， 恒成立，求的最小值；

（2）若的图像关于对称，且时， ，求当时， 的解析式；

（3）当时， .若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 的最小值为；(2) ；(3) .

【解析】试题（1）取最小值时，m,n为函数在上最大值与最小值，先求函数在上最值，再根据奇函数性质得在上最大值与最小值，（2）先根据函数两个对称性（一个关于原点对称，一个关于对称）推导出函数周期，根据周期性只需求出解析式，根据关于对称，只需求出上解析式，根据奇函数性质根据解析式可得上解析式，（3）先根据函数解析式得到，转化不等式为，再根据函数单调性得，最后根据不等式恒成立，利用变量分离法求实数的取值范围.

试题解析：（1），当时， .

，因为函数是奇函数，所以当时，

， .

所以， ， 的最小值为.

（2）由为奇函数，得；又的图像关于对称，得；∴即∴

当， ；

当， ；

又，当时，

（3）易知， ；

， ；综上，对任，

∴对任意的恒成立，又在上递增，

∴，即对任意的恒成立.

∴∴