题目内容

【题目】已知是定义在上的奇函数.

(1)当时, ,若当时, 恒成立,求的最小值;

(2)若的图像关于对称,且时, ,求当时, 的解析式;

(3)当时, .若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1) 的最小值为;(2) ;(3) .

【解析】试题(1)取最小值时,m,n为函数在上最大值与最小值,先求函数在上最值,再根据奇函数性质得在上最大值与最小值,(2)先根据函数两个对称性(一个关于原点对称,一个关于对称)推导出函数周期,根据周期性只需求出解析式,根据关于对称,只需求出上解析式,根据奇函数性质根据解析式可得上解析式,(3)先根据函数解析式得到,转化不等式为,再根据函数单调性得,最后根据不等式恒成立,利用变量分离法求实数的取值范围.

试题解析:(1),当时, .

,因为函数是奇函数,所以当时,

.

所以的最小值为.

(2)由为奇函数,得;又的图像关于对称,得;∴

,当时,

(3)易知

;综上,对任

对任意的恒成立,又上递增,

,即对任意的恒成立.

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