题目内容
【题目】已知是定义在
上的奇函数.
(1)当时,
,若当
时,
恒成立,求
的最小值;
(2)若的图像关于
对称,且
时,
,求当
时,
的解析式;
(3)当时,
.若对任意的
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 的最小值为
;(2)
;(3)
.
【解析】试题(1)取最小值时,m,n为函数在
上最大值与最小值,先求函数在
上最值,再根据奇函数性质得在
上最大值与最小值,(2)先根据函数两个对称性(一个关于原点对称,一个关于
对称)推导出函数周期,根据周期性只需求出
解析式,根据关于
对称,只需求出
上解析式,根据奇函数性质根据
解析式可得
上解析式,(3)先根据函数解析式得到
,转化不等式为
,再根据函数单调性得
,最后根据不等式恒成立,利用变量分离法求实数
的取值范围.
试题解析:(1),当
时,
.
,因为函数
是奇函数,所以当
时,
,
.
所以,
,
的最小值为
.
(2)由为奇函数,得
;又
的图像关于
对称,得
;∴
即
∴
当,
;
当,
;
又,当
时,
(3)易知,
;
,
;综上,对任
,
∴对任意的
恒成立,又
在
上递增,
∴,即
对任意的
恒成立.
∴∴
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