题目内容
已知抛物线y2=4x的焦点F是等腰直角△ABF的直角顶点,A,B在抛物线上,
(1)求证:A,B关于x轴对称;
(2)求△ABF的面积.
(1)求证:A,B关于x轴对称;
(2)求△ABF的面积.
(1)证明:∵抛物线y2=4x的焦点F是等腰直角△ABF的直角顶点,
∴|AF|=|BF|
∴A、B到准线的距离相等
∴A、B两点的横坐标相等
∴A、B两点的纵坐标相反
∴A、B关于x轴对称;
(2)由题意,设A(x,y),则|y|=|x-1|
∵y2=4x,∴|x-1|2=4x
∴x2-6x+1=0
∴x=3±2
x=3+2
时,|y|=2+2
,∴△ABF的面积为(2+2
)2=12+8
;
x=3-2
时,|y|=2
-2,∴△ABF的面积为(2
-2)2=12-8
.
∴|AF|=|BF|
∴A、B到准线的距离相等
∴A、B两点的横坐标相等
∴A、B两点的纵坐标相反
∴A、B关于x轴对称;
(2)由题意,设A(x,y),则|y|=|x-1|
∵y2=4x,∴|x-1|2=4x
∴x2-6x+1=0
∴x=3±2
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x=3+2
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x=3-2
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