在用“五点法画函数f(ω＞0.|φ|＜$\frac{π}{2}$)在某一周期内的图象时.列表并填人了部分数据.如表:ωx+φ0$\frac{π}{2}$π$\frac{3π}{2}$2πx①2π②5π③Asin02④-20(1)请将上表中①②③④处数据补充完整.并直接写出函数f(x)的解析式, 图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{2}{3}$.再将所� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．在用“五点法”画函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	①	2π	②	5π	③
Asin（ωx+φ）	0	2	④	-2	0

（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{2}{3}$，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）在z∈[-2π，2π]时的单调递增区间．

分析（1）根据用五点法作函数f（x）=Asinx（ωx+φ）的图象，求得表中①②③④处数据，并直接写出函数f（x）的解析式．
（2）由条件利用 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），再根据整弦函数的单调性求得g（x）在z∈[-2π，2π]时的单调递增区间．

解答解：（1）由表格可得A=2，再根据ω•2π+φ=$\frac{π}{2}$，ω•5π+φ=$\frac{3π}{2}$，
求得ω=$\frac{1}{3}$，φ=-$\frac{π}{6}$，
令$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$=0，求得x=$\frac{π}{2}$ 故①为$\frac{π}{2}$．
令$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$=π，求得x=$\frac{7π}{2}$，Asin0=0，故②为$\frac{7π}{2}$，④为0．
令$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$=2π，求得x=$\frac{13π}{2}$，故③为$\frac{13π}{2}$．
函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$），
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{2}{3}$，得到y=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），
再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）=2sin[$\frac{1}{2}$（x+π）-$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）的图象．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故g（x）在z∈[-2π，2π]时的单调递增区间为[-$\frac{5π}{3}$，$\frac{π}{3}$]．

点评本题主要考查用五点法作函数f（x）=Asinx（ωx+φ）的图象，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．