题目内容
【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用正方形得到线线垂直,再利用面面垂直的性质定理进行证明;(Ⅱ)利用勾股定理证明线线垂直,合理建立空间直角坐标系,写出出相关点的坐标,求出相关平面的法向量,再通过空间向量的夹角公式进行求解.
试题解析:(I)证明:∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,
∴AA1⊥平面ABC.
(II)由AC=4,BC=5,AB=3.
∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC.
建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),∴,
,
.
设平面A1BC1的法向量为,平面B1BC1的法向量为
=
.
则,令
,解得
,∴
.
,令
,解得
,∴
.
=
=
=
.
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为.
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