题目内容
【题目】【2017届云南省云南师范大学附属中学高三高考适应性月考(五)文数】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线斜率为1,求函数
的单调区间;
(2)若时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)证明过程见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据曲线在点
处的切线斜率为1,可求出参数
的值,再对导函数
的零点进行分类讨论,即可求出函数
的单调区间;(Ⅱ)由
,构造辅助函数
,再对
进行求导,讨论
的取值范围,利用函数单调性判断函数的最值,进而确定
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)∵∴
∴
,
∴,记
∴
,
当x<0时, 单减;
当x>0时,单增,
∴,
故恒成立,所以
在
上单调递增.
(Ⅱ)∵,令
∴
,
当时,
∴
在
上单增,∴
.
i)当即
时,
恒成立,即
∴
在
上单增,
∴,所以
.
ii)当即
时,∵
在
上单增,且
,
当时,
,
∴使
,即
.
当时,
,即
单减;
当时,
,即
单增.
∴,
∴,由
∴
.
记,
∴∴
在
上单调递增,
∴∴
.
综上,.
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