Question

【题目】（本小题满分14分）

设椭圆的离心率为，其左焦点与抛物线的焦点相同.

（1）求此椭圆的方程；

（2）若过此椭圆的右焦点的直线与曲线只有一个交点，则

①求直线的方程；

②椭圆上是否存在点，使得，若存在，请说明一共有几个点；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）①或或.

②12个

【解析】

试题分析：对于第一问中的椭圆方程，根据抛物线的焦点坐标求出的值，根据离心率的值，得出的值，从而得出的值，得到相应的椭圆方程，对于第二问，根据题的条件，设出直线的方程，当直线和抛物线相切时，一种情况，联立式子，对应的二次方程有两个相等实根，判别式等于0，一种是直线和抛物线的对称轴平行即可得结果；根据所求的直线方程，可以得出对应的交点P的坐标，因为F点是已知的，所以三角形的底边FP的长度已经确定，要想面积是所给的值，可以得出点M到此直线的距离，建立相应的等量关系，从而得出点的个数.

试题解析：

解：（1）抛物线的焦点为，

所以. （1分）

由，得， （2分）

所以 （3分）

因此，所求椭圆的方程为（*）（4分）

（2）①椭圆的右焦点为，过点与轴平行的直线显然与曲线没有交点.设直线的斜率为. （5分）

当时，则直线过点且与曲线只有一个交点，此时直线的方程为； （6分）

当时，因直线过点，故可设其方程为，将其代入消去，得.

因为直线与曲线只有一个交点，所以判别式，于是，即直线的方程为或. （7分）

因此，所求的直线的方程为或或. （8分）

②由①可求出点的坐标是或或.

当点的坐标为时，则.于是=，从而，代入（*）式联立：或，求得，此时满足条件的点有4个:

. （10分）

当点的坐标为，则，点到直线：的距离是，于是有，

从而，与（*）式联立：或解之，可求出满足条件的点有4个:

，，，. （12分）

当点的坐标为，则，点到直线:的距离是，于是有，

从而，与（*）式联立：或，

解之，可求出满足条件的点有4个:

，,,. （14分）

综合①②③，以上12个点各不相同且均在该椭圆上，因此，满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.