Question

【题目】已知椭圆Γ：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，

（1）求Γ的方程：

（2）如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆Γ于A，B两点，连接AO交Γ于点C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据题意＝及，即可求得的值，求得椭圆方程；

（2）分类讨论，当直线的斜率存在，设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及弦长公式求得，表示出的面积，化简即可求得面积的最大值．

（1）因为椭圆C的短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，

所以b＝c，S＝a2＝2，则，b＝c＝1，

故椭圆Γ的方程；

（2）①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），

联立方程组，消去y，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），得，，

所以，

点O到直线kx﹣y﹣k＝0的距离，

因为O到线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为，

所以△ABC面积，

②当直线AB的斜率不存在时不妨取，，，

故△ABC面积为，

综上，当直线AB的斜率不存在时，△ABC面积的最大值为．