Question

【题目】四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，M为PA上一点，且，

（1）证明：PC//平面MBD；

（2）若，四棱锥的体积为，求直线AB与平面MBD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）连结AC交BD于N点，连结MN，可证，从而可证得.

（2）不妨设，根据四棱锥的体积为，解得； 利用等体积法，

设点到平面的距离为，,解得， 可得结果.

（1）连结AC交BD于N点，连结MN，则∽

又， ，，

，

（2）不妨设，因为PA=AD=3，四棱锥的体积为，

所以，解得；

设点到平面的距离为，

利用体积相等，,在中，

,

利用余弦定理可求得,所以，

所以三角形的面积,

代入中得：，解得，

又因为,所以直线AB与平面MBD所成角的正弦值为.