题目内容
【题目】如图甲,四边形中,
是
的中点,
.将(图甲)沿直线
折起,使二面角
为
(如图乙).
(1)求证:⊥平面
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)取的中点
,连接
,可知
,
平面
,即
,也可证明
,根据线面垂直的判断定理可证
平面
;(2)根据等体积转化
,可得点到平面的距离,或是利用空间直角坐标解决.
试题解析:(Ⅰ)证明:如图,取BD中点M,连接AM,ME.
因为AB=AD=,所以AM⊥BD, 因为DB=2,DC=1,BC=
,满足:DB 2+DC 2=BC 2, 所以△BCD是以BC为斜边的直角三角形,BD⊥DC,因为E是BC的中点,所以ME为△BCD的中位线,
ME∥
,
ME⊥BD,ME=
∠AME是二面角A-BD-C的平面角,
=
°.
,
且AM、ME是平面AME内两条相交于点M的直线,
,
平面AEM,
.
,
,
为等腰直角三角形,
,在△AME中,由余弦定理得:
,
.
(Ⅱ)解法一:等体积法.
解法二:如图5,以M为原点,MB所在直线为x轴,ME所在直线为y轴,
平行于EA的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则由(Ⅰ)及已知条件可知B(1,0,0),,
,D
,C
.则
设平面ACD的法向量为
=
,
则令
则z=-2,
到平面
的距离为d,则
,所以d
.
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