题目内容
【题目】设,
.已知函数
,
.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)已知函数和
的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
(i)求证:在
处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式在区间
上恒成立,求b的取值范围.
【答案】(I)单调递增区间为,
,单调递减区间为
.(II)(i)见解析.(ii)
.
【解析】
试题求导数后因式分解根据,得出
,根据导数的符号判断函数的单调性,给出单调区间,对
求导,根据函数
和
的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,解得
,根据
的单调性可知
在
上恒成立,关于x的不等式
在区间
上恒成立,得出
,得
,
,
求出的范围,得出
的范围.
试题解析:(I)由,可得
,
令,解得
,或
.由
,得
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
所以,的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
.
(II)(i)因为,由题意知
,
所以,解得
.
所以,在
处的导数等于0.
(ii)因为,
,由
,可得
.
又因为,
,故
为
的极大值点,由(I)知
.
另一方面,由于,故
,
由(I)知在
内单调递增,在
内单调递减,
故当时,
在
上恒成立,从而
在
上恒成立.
由,得
,
.
令,
,所以
,
令,解得
(舍去),或
.
因为,
,
,故
的值域为
.
所以,的取值范围是
.

【题目】某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) | 0 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 |
车辆数(辆) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
【题目】某网站针对“2016年春节放假安排”开展网上问卷调查,提出了A,B两种放假方案,调查结果如表:(单位:万人)
人群 | 青少年 | 中年人 | 老年人 |
支持A方案 | 200 | 400 | 800 |
支持B方案 | 100 | 100 | n |
已知从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为.
(1)求n的值;
(2)从参与调查的“老年人”中,用分层抽样的方法抽取6人,在这6人中任意选取2人,求恰好有1人“支持B方案”的概率.