Question

6．如图所示的图形由两个等腰直角三角形和一个正方形组成，且正方形的边长为2，直线x=t（0＜t≤4）从左到右扫过图形的面积为S=f（t），如f（0.5）=0.25，f（4）=6
（1）求S=f（t）的解析式；
（2）求$g（t）=\frac{f（t）}{t^2}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得等腰直角三角形的直角边为$\sqrt{2}$，斜边的中线（高）为1，分0＜t≤1和1＜t≤3以及3＜t≤4，由三角形和矩形的面积公式可得；
（2）由（1）可得g（t）的解析式，结合二次函数的值域分类讨论可得．

解答 解：（1）由题意可得等腰直角三角形的直角边为$\sqrt{2}$，斜边的中线（高）为1，
∴当0＜t≤1时，S=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$t）²=t²；
当1＜t≤3时，S=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$）²+2（t-1）=2t-1；
当3＜t≤4时，S=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$）²+2×2+1-$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2}$（4-t）]²=-t²+8t-10；
∴S=f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}，0＜t≤1}\\{2t-1，1＜t≤3}\\{-{t}^{2}+8t-10，3＜t≤4}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可得$g（t）=\frac{f（t）}{t^2}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，0＜t≤1}\\{\frac{2t-1}{{t}^{2}}，1＜t≤3}\\{\frac{-{t}^{2}+8t-10}{{t}^{2}}，3＜t≤4}\end{array}\right.$，
当0＜t≤1时，g（t）=1；
当1＜t≤3时，g（t）=$\frac{2t-1}{{t}^{2}}$=$\frac{2}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=-（$\frac{1}{t}$-1）²+1，
∵1＜t≤3，∴$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{t}$＜1，故g（t）＜g（1）=1；
当3＜t≤4时，g（t）=$\frac{-{t}^{2}+8t-10}{{t}^{2}}$=-10（$\frac{1}{t}$）²+8（$\frac{1}{t}$）-1，
∵3＜t≤4，∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{t}$＜$\frac{1}{3}$，故g（t）＜g（3）=$\frac{5}{9}$；
综上可得函数的最大值为1

点评 本题考查函数解析式的求解，涉及分段函数和二次函数的最值，属中档题．