题目内容

15.已知F为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦点,a为双曲线虚轴的一个顶点,过点F、A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若$\overrightarrow{AB}$=($\sqrt{2}$-1)$\overrightarrow{AF}$,则此双曲线的离心率是(  )
A.$\sqrt{2}$B.$\sqrt{3}$C.2$\sqrt{2}$D.$\sqrt{5}$

分析 设F(c,0),A(0,b),渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x,求出AF的方程与y=$\frac{b}{a}$x,联立可得B,利用$\overrightarrow{AB}$=($\sqrt{2}$-1)$\overrightarrow{AF}$,可得a,c的关系,即可求出双曲线的离心率.

解答 解:设F(c,0),A(0,b),渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x,则
直线AF的方程为$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1$,与y=$\frac{b}{a}$x联立可得B($\frac{ac}{c+a}$,-$\frac{bc}{c+a}$),
∵$\overrightarrow{AB}$=($\sqrt{2}$-1)$\overrightarrow{AF}$,
∴($\frac{ac}{c+a}$,-$\frac{bc}{c+a}$-b)=($\sqrt{2}$-1)(c,-b),
∴c=($\sqrt{2}$+1)$\frac{ac}{c+a}$,
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$,
故选:A.

点评 本题考查双曲线的性质,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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