题目内容
11.过点P(-2,-1)作圆C:(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点分别为A,B,(1)求直线AB的方程;
(2)求在经过点A,B的所有圆中,面积最小的圆的方程.
分析 (1)连结AC,BC,PC,记PC交AB于D,根据AB⊥CD求出直线斜率,再根据C到直线AB的距离,可得直线AB的方程;
(2)经过点A,B的所有圆中,面积最小的圆是以AB为直径的圆,进而得到答案.
解答 解:(1)如图,连结AC,BC,PC,记PC交AB于D,
因为,PA,PB是圆C的切线,
所以CA⊥PA,CB⊥PB,PC⊥AB …(2分)
在Rt△PAC中,PC=$3\sqrt{5}$,AC=3,∴PA=6
由Rt△PAC∽Rt△ADC得,$CD=\frac{3}{{\sqrt{5}}}$…(4分)
由条件知,圆心C(4,2),∴${k_{PC}}=\frac{1}{2}$,kAB=-2
可设直线AB的方程为y=-2x+m,即2x+y-m=0,
∴$\frac{|10-m|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{3}{{\sqrt{5}}}$,∴m=7或m=13(舍去)
所以,直线AB的方程为y=-2x+7…(7分)
(2)在经过点A,B的所有圆中,以AB为直径的圆,其面积最小.…(9分)
直线PC的方程为x-2y=0,与y=-2x+7联立,
解得点D的坐标为$(\frac{14}{5},\frac{7}{5})$…(11分)
由(1)知,$AD=2CD=\frac{6}{{\sqrt{5}}}$…(13分)
∴所求圆的方程为:${(x-\frac{14}{5})^2}+{(y-\frac{7}{5})^2}=\frac{36}{5}$…(15分)
点评 本题考查的知识点是圆的切线方程,圆的标准方程,点到直线的距离公式,难度中档.
练习册系列答案
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