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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l过定点P(1,1),且倾斜角为 ,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的坐标系中,曲线C的极坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;
(2)若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,求|AB|及|PA||PB|的值.

【答案】
(1)解:∵曲线C的极坐标方程为

∴ρ2=2ρcosθ+3,

将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入,得x2+y2=2x+3,即x2+y2﹣2x﹣3=0.

∵直线l过定点P(1,1),且倾斜角为

则直线l的参数方程为 ,即 (t为参数)


(2)解:将直线l的参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0,得

设方程两根分别为t1,t2,则

∴AB的长|AB|=|t1﹣t2|= = =

|PA||PB|=|t1t2|=3


【解析】(1)曲线C的极坐标方程转为ρ2=2ρcosθ+3,将ρ2=x2+y2 , ρcosθ=x代入,能求出曲线C的直角坐标方程;由直线l过定点P(1,1),且倾斜角为 ,能求出直线l的参数方程.(2)将直线l的参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0,得 ,设方程两根分别为t1 , t2 , 利用韦达定理及弦长公式能求出|AB|及|PA||PB|的值.

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