Question

【题目】原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据画圆弧的规律：分别以B，C，A为圆心，抽象半径长度的数列，明确圆弧与直线的交点情况，再根据当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，确定数列的项数，求得最后圆弧的半径即可.

如图所示：

当以B为圆心，半径为：1，4，7，10，…除起点外，与直线无交点，①

当以C为圆心，半径为：2，5，8，11，…与直线有一个点，②

当以A为圆心，半径为：3，6，9，12，…除终点（即①的起点，点A除外）外，与直线无交点，③

所以当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，

则完成整数个循环，

所以以B为圆心的弧与直线只有交点A，以C为圆心的弧与直线10个交点，以A为圆心的弧与直线有10个交点，

即数列②有10项，数列③有10项，

所以最后一个圆弧的半径为，

所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为.

故选：A