题目内容

14.点O在△ABC内部且满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$,则△ABC的面积与△BOC的面积之比是(  )
A.$\frac{3}{2}$B.2C.3D.4

分析 根据向量的运行性质结合三角形重心的性质,易得是△ABC的重心,结合三角形的面积性质进行求解.

解答 解:由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$,
则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{CO}$,
取AB的中点E,以OA,OB为边作平行四边形OADB,
则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{OE}$,
∴$\overrightarrow{CO}$=2$\overrightarrow{OE}$,
则O是△ABC的重心,
由重心的性质,可得O到BC的距离为A到BC距离的$\frac{1}{3}$,
即△OBC的面积为△ABC的面积$\frac{1}{3}$,
则∴S△ABC:S△OBC=3:1.
故选:C

点评 本题考查向量在几何中的应用,注意由向量关系式推出O是三角形的重心,结合三角形的重心的性质是解决本题的关键.

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