题目内容
20.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递减函数,f′(x)是其导函数,若 $\frac{f(x)}{f′(x)}$>x,则下列不等关系成立的是( )A. | f(2)<2f(1) | B. | 3f(2)>2f(3) | C. | ef(e)<f(e2) | D. | ef(e2)>f(e3) |
分析 令g(x)=$\frac{f(x)}{x}$,求导g′(x)=$\frac{f′(x)x-f(x)}{{x}^{2}}$,从而可判断函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,从而得到答案.
解答 解:令g(x)=$\frac{f(x)}{x}$,故g′(x)=$\frac{f′(x)x-f(x)}{{x}^{2}}$,
∵f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递减函数,f′(x)是其导函数,
∴f′(x)<0,
∵$\frac{f(x)}{f′(x)}$>x,
∴xf′(x)-f(x)>0,
∴函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,
故$\frac{f(3)}{3}$>$\frac{f(2)}{2}$>$\frac{f(1)}{1}$,$\frac{f({e}^{3})}{{e}^{3}}$>$\frac{f({e}^{2})}{{e}^{2}}$>$\frac{f(e)}{e}$,
故2f(3)>3f(2),f(2)>2f(1),
f(e3)>ef(e2),ef(e)<f(e2);
故选C.
点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用.
练习册系列答案
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11.函数$y=\sqrt{lgx}+lg(5-3x$)的定义域是( )
A. | [0,$\frac{5}{3}$ ) | B. | [0,$\frac{5}{3}$] | C. | [1,$\frac{5}{3}$ ) | D. | [1,$\frac{5}{3}$] |
15.若一条直线与两条平行直线都相交,则这三条直线确定的平面的个数为( )
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 1或3 |
12.正方体的八个顶点可以确定的平面个数为( )
A. | 6 | B. | 8 | C. | 14 | D. | 20 |