Question

10．等腰三角形的腰长为2，底边中点到腰的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则此三角形外接圆的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或2．

Answer 1

分析 设AB=AC，D为底边中点，DE⊥AC，BF⊥AC，则由DE，可求BF，又AB=2，由勾股定理可求AF，CF，tanC，解得C的值，利用正弦定理即可得解．

解答 解：设AB=AC，D为底边中点，DE⊥AC，BF⊥AC，
则由DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，知BF=$\sqrt{3}$．
又AB=2，
∴当顶角为锐角时，sinA=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=60°，
当顶角为钝角时，sin（180°-A）=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=120°，
∴C=60°，或30°，
∴当C=60°时，2R=$\frac{AB}{sinC}=\frac{2}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
当C=30°时，2R=$\frac{AB}{sinC}=\frac{2}{sin30°}$=4，R=2，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或2．

点评 本题主要考查了正弦定理，勾股定理，三角函数的定义，特殊角的三角函数值等知识的应用，属于中档题．