Question

4．求下列函数的最大值．
（1）y=2x（1-2x）（0＜x＜$\frac{1}{2}$）
（2）y=（3x+2）（1-3x）（-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 （1）由0＜x＜$\frac{1}{2}$，可得1-2x＞0，运用基本不等式的变形ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²即可得到最大值；
（2）由-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$，可得3x+2＞0，1-3x＞0，运用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）由0＜x＜$\frac{1}{2}$，可得1-2x＞0，
y=2x（1-2x）≤[$\frac{2x+（1-2x）}{2}$]²=$\frac{1}{4}$，
当且仅当2x=1-2x，即x=$\frac{1}{4}$时，取得最大值$\frac{1}{4}$；
（2）由-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$，可得3x+2＞0，1-3x＞0，
则y=（3x+2））1-3x）≤（$\frac{3x+2+1-3x}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，
当且仅当3x+2=1-3x，即x=-$\frac{1}{6}$时，取得最大值$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，属于基础题．