题目内容
16.函数y=cosxsin2x的最小值为( )A. | -1 | B. | -$\frac{4\sqrt{3}}{9}$ | C. | -2 | D. | -$\frac{2\sqrt{3}}{9}$ |
分析 由三角函数公式化简可得y=-2sin3x+2sinx,令sinx=t,则t∈[-1,1],导数法y=-2t3+2t在[-1,1]的最小值可得.
解答 解:由三角函数公式化简可得y=cosxsin2x
=cosx•2sinxcosx=2sinxcos2x
=2sinx(1-sin2x)
=-2sin3x+2sinx,
令sinx=t,则t∈[-1,1],
对y=-2t3+2t求导数可得y′=-6t2+2,
令y′=-6t2+2≥0可得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤t≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴y=-2t3+2t在[-1,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]单调递减,
在[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$]单调递增,在[$\frac{\sqrt{3}}{3}$,1]单调递减,
∴当t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时,y=-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$
当t=1时,y=0>-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$,
∴原函数的最小值为-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$
故选:B.
点评 本题考查三角函数的最值,涉及导数法求三次函数在闭区间的最值,属中档题.
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4.二次函数f(x)=-x2+2x+1在闭区间[-1,0]上( )
A. | 有最大值和最小值 | B. | 有最大值无最小值 | ||
C. | 有最小值无最大值 | D. | 无最大值无最小值 |