题目内容
【题目】如图所示,在三棱锥中,
平面
,
,
分别为线段
上的点,且
.
(I)证明:平面
;
(II)求二面角的余弦值.
【答案】(I)证明见解析;(II).
【解析】
(I)根据平面
并结合
的形状,利用线面垂直的判定定理进行证明;
(II)建立空间直角坐标系,求解出平面的一个法向量,写出平面
的一个法向量,计算出法向量夹角的余弦并结合图形判断二面角
是钝角还是锐角,从而计算出二面角
的余弦值.
(I)
证明:因为平面
,
平面
,
所以.
由得
为等腰直角三角形,
故,
又,且
面
,
面
,
故平面
.
(II)
如图,以点为原点,分别以
的方向分别为
轴,
轴,
轴的正方向,
建立直角坐标系,
,
设平面的法向量为
,则
,
即,
令,则
,故可取
.
由(I)可知平面
,故平面
的法向量
可取为
,
即,
则,
又二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为
.
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