题目内容
已知抛物线的焦点为,点是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,.
(1)求抛物线的方程;
(2)设点是抛物线上的两点,的角平分线与轴垂直,求的面积最大时直线的方程.
(1);(2)
解析试题分析:(1)由于点是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,假设点,再通过,可得一个关于与的关系式,在结合抛物线方程即可求出.从而求得抛物线的方程.
(2)因为的角平分线与轴垂直,所以可知的倾斜角互补,即的斜率互为相反数.所以假设直线PA,联立抛物线方程即可得到点A的坐标,类比地求出点B的坐标.结合韦达定理,可以得到直线AB的斜率为定值-1.通过假设直线AB的方程,联立抛物线的方程,应用点到直线的距离,即可表示三角形的面积.再通过求最值即能到结论.
试题解析:(1)设,因为,由抛物线的定义得,又,所以,
因此,解得,从而抛物线的方程为.
(2)由(1)知点的坐标为,因为的角平分线与轴垂直,所以可知的倾斜角互补,即的斜率互为相反数
设直线的斜率为,则,由题意,
把代入抛物线方程得,该方程的解为4、,
由韦达定理得,即,同理,
所以,
设,把代入抛物线方程得,
由题意,且,从而
又,所以,点到的距离,
因此,设,
则,
由知,所以在上为增函数,因此,
即面积的最大值为.
的面积取最大值时,所以直线的方程为.
考点:1.抛物线的性质.2.函数的最值.3.等价变换.4.圆锥曲线与函数知识的交汇.
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