Question

20．如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
求证：
（1）BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）E，F，C，B四点共圆．

Answer 1

分析 （1）连接CD后，根据圆周角定理及∠BEC为△ABE与△CDE的共公角，我们易得△ABE∽△CDE，根据相似三角形性质，结合比例的性质，易得答案．
（2）AB是⊙O的直径所对的圆周角为直角，易得△ECB为直角三角形，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，我们易得E，F，C，B到点D的距离相等，即E，F，C，B四点共圆

解答 证明：（1（连接CD，如图所示：
由圆周角定理，我们可得∠C=∠B
又由∠BEC为△ABE与△CDE的公共角，
∴△ABE∽△CDE，
∴BE：CE=AE：DE，
∴BE•DE=CE•AE
∴BE•DE+AC•CE=CE²…（5分）
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ECB=90°，∴CD=$\frac{1}{2}$BE，
∵EF⊥BF，∴FD=$\frac{1}{2}$BE，
∴E，F，C，B四点与点D等距，
∴E，F，C，B四点共圆  …（10分）

点评 本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，四点共圆的判定，属于中档题．