Question

2．如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$．
（1）若AD=$\frac{1}{2}$BC，E为PC中点，求证：DE∥平面PAB；
（2）设PD=a，且二面角A-PB-C的大小为$\frac{π}{3}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE∥平面PAB．
（2）分别求出平面PAB的法向量和平面PBC的法向量，由二面角A-PB-C的大小为$\frac{π}{3}$，利用向量法能求出AD的长．

解答 （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PD=a，∵PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$，
∴D（0，0，0），C（0，a，0），P（0，0，a），E（0，$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0），B（$\sqrt{2}a$，a，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，-a），$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}a，a，-a$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=\frac{\sqrt{2}}{2}ax-az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}ax+ay-az=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，-1，1），
∵$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}$=0-$\frac{a}{2}+\frac{a}{2}$=0，DE?平面PAB，
∴DE∥平面PAB．
（2）解：∵PD=a，且二面角A-PB-C的大小为$\frac{π}{3}$，设A（ta，0，0），t＞0，
∴$\overrightarrow{PA}$=（t，0，-a），$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}a，a，-a$），$\overrightarrow{PC}$=（0，a，-a），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=tax-az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}ax+ay-az=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{t}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{t}$，1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}a{x}_{1}+a{y}_{1}-a{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=a{y}_{1}-a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
∵二面角A-PB-C的大小为$\frac{π}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{（1-\frac{\sqrt{2}}{t}）+1}{\sqrt{\frac{1}{{t}^{2}}+（1-\frac{\sqrt{2}}{t}）^{2}+1}•\sqrt{2}}$=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
解得t=$\frac{3\sqrt{2}±4\sqrt{3}}{6}$．
∴AD=$\frac{3\sqrt{2}±4\sqrt{3}}{6}a$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．