题目内容

14．设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥$\frac{8}{7}$．

分析 由条件利用柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+4+9）≥（a+2b+3c）2=16，变形即可证得结论．

解答 证明：∵a+2b+3c=4，由柯西不等式，得（a2+b2+c2）（1+4+9）≥（a+2b+3c）2=16，
∴a2+b2+c2≥$\frac{8}{7}$，当且仅当$\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}$时，等号成立，即当a=$\frac{2}{7}$、b=$\frac{4}{7}$、c=$\frac{6}{7}$时，等号成立，
∴a2+b2+c2≥$\frac{8}{7}$．

点评 本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．

练习册系列答案
相关题目
4．已知0＜α，β＜π，且cosα+cosβ-cos（α+β）=$\frac{3}{2}$，则2α+β=π．
5．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为（ 1，±2$\sqrt{2}$）．
2．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+y-1≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则z=2x+y的最小值是（　　）
A．-4B．-6C．1D．2
9．设f（x）=4x3+mx2+（m-3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为6．
19．已知向量$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（3，-6）$，若向量$\overrightarrow c$满足$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，$\overrightarrow c•（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）=5$，则$|{\overrightarrow c}|$=（　　）
A．1B．$\sqrt{5}$C．2D．$2\sqrt{5}$
6．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知角A=60°．
（1）若sinC+cosC=$\sqrt{3}$cosB，求角B的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC周长的取值范围．
3．已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，证明：
（1）（b+c+d）2≤2b2+3c2+6d2；
（2）|a-$\frac{3}{2}$|≤$\frac{1}{2}$．
4．（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；
（2）已知a，b，c都是正数，求证：$\frac{{{a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{c^2}{a^2}}}{a+b+c}$≥abc．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网