Question

3．已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，证明：
（1）（b+c+d）²≤2b²+3c²+6d²；
（2）|a-$\frac{3}{2}$|≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由柯西不等式得（b+c+d）²≤（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$）（2b²+3c²+6d²），即可证明结论；
（2）将条件代入（b+c+d）²≤2b²+3c²+6d²可得5-a²≥（3-a）²，解得1≤a≤2．即可证明结论．

解答 证明：（1）由柯西不等式得（b+c+d）²≤（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$）（2b²+3c²+6d²）
即（b+c+d）²≤2b²+3c²+6d²，
当且仅当b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{3}$，d=$\frac{1}{6}$时等号成立，
（2）将条件代入（b+c+d）²≤2b²+3c²+6d²可得5-a²≥（3-a）²，解得1≤a≤2
所以-$\frac{1}{2}$≤a-$\frac{3}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
所以|a-$\frac{3}{2}$|≤$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧性，需要同学们对一般形式的柯西不等式非常熟练．