题目内容

2.点P在曲线y=x3-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1上移动,该曲线在点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是(  )
A.($\frac{π}{2}$,$\frac{5π}{6}$]B.[$\frac{5π}{2}$,π)C.[$\frac{2π}{3}$,π)D.[0,$\frac{π}{2}$)∪[$\frac{5π}{6}$,π)

分析 利用导数的几何意义求出切线的斜率,再利用正切函数的单调性即可求出倾斜角的取值范围.

解答 解:设切点P(x0,y0),过此点的切线的倾斜角为α.
∵y=x3-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1,∴f′(x)=3x2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴f′(x0)=3x02-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,(x0∈R).
∴tanα=3x02-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≥$-\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∵0≤α<π,∴α∈[0,$\frac{π}{2}$)∪[$\frac{5π}{6}$,π).
故选:D.

点评 熟练掌握导数的几何意义和正切函数的单调性是解题的关键.

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