Question

2．点P在曲线y=x³-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1上移动，该曲线在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]
• B． [$\frac{5π}{2}$，π）
• C． [$\frac{2π}{3}$，π）
• D． [0，$\frac{π}{2}$）∪[$\frac{5π}{6}$，π）

Answer 1

分析 利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用正切函数的单调性即可求出倾斜角的取值范围．

解答 解：设切点P（x₀，y₀），过此点的切线的倾斜角为α．
∵y=x³-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，∴f′（x）=3x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴f′（x₀）=3x₀²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，（x₀∈R）．
∴tanα=3x₀²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≥$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0≤α＜π，∴α∈[0，$\frac{π}{2}$）∪[$\frac{5π}{6}$，π）．
故选：D．

点评 熟练掌握导数的几何意义和正切函数的单调性是解题的关键．