题目内容
【题目】对于定义在区间上的函数
,若存在闭区间
和常数
,使得对任意
,都有
,且对任意
,当
时,
恒成立,则称函数
为区间
上的“平底型”函数.
(1)判断函数和
是否为
上的“平底型”函数?
(2)若函数是区间
上的“平底型”函数,求
和
的值.
【答案】(1) 是“平底型”函数,
不是“平底型”函数;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)分区间去掉绝对值符号,分别讨论与
的性质与“平底型”函数定义对照即可;
(2) 函数是区间
上的“平底型”函数等价于存在区间
和常数
,使得
恒成立,即
恒成立,亦即
,解之即可.
试题解析: (1)对于函数,当
时,
.
当或
时,
恒成立,故
是“平底型”函数.
对于函数,当
时,
;
当时,
,
所以不存在闭区间,使当
时,
恒成立,故
不是“平底型”函数.
(2)因为函数是区间
上的“平底型”函数,则
存在区间和常数
,使得
恒成立.
所以恒成立,即
解得
或
.
当时,
.当
时,
;当
时,
恒成立,此时,
是区间
上的“平底型”函数.
当时,
.当
时,
;当
时,
恒成立,此时,
不是区间
上的“平底型”函数.
综上分析,为所求.
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