题目内容
【题目】已知四棱锥的底面为直角梯形,
,
底面
,且
,
是
的中点.
(1)证明:面面
;
(2)求直线与
所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)
.
【解析】
试题分析:(1)根据面面垂直的判定定理,要证明面面垂直,先证明线面垂直,根据垂直关系,可证明平面
;(2)几何法求异面直线所成的角,通过平移直线,将异面直线转化为相交直线所成的角,取
中点
,
中点
,连结
,则
,长
至点
,使得
,连结
,则
,所以
或其补角为直线
与
所成的角,在三角形
内,根据余弦定理求角;(3)因为
H和
全等,过
点作
,连结
,所以
,故
为二面角
的平面角,同样根据余弦定理求解;或是根据向量法求后两问.
试题解析:(1)因为且
,所以
因为面
,所以
,
而,所以
面
,又
面
,所以面
面
方法一:(2)取中点
,
中点
,连结
,则
,且
。延长
至点
,使得
,连结
,则
,且
,所以
或其补角为直线
与
所成的角。易得
,
,
,所以
,故所求直线
与
所成角的余弦值为
(3)过点作
,连结
,因为
,
,
是
和
公共边,所以
,故
为二面角
的平面角,易得
,而
,所以
,所以所以所求的二面角的余弦值为
。
方法二:(2)以为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
, 则
,于是
,
,故
,故所求直线
与
所成角的余弦值为
(3)由(2)知,,
,
设面的一个法向量为
,由
且
,得
,则
,取
,则
,故
设面的一个法向量为
,由
且
,得
,则
,取
,则
,故
所以
由图可知,此二面角为钝二面角,所以所求的二面角的余弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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