题目内容
【题目】已知函数为自然对数的底数).
⑴当时,求曲线
在点
,
处的切线方程;
⑵讨论的单调性;
⑶当时,证明
.
【答案】(1)(2)见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)当时,
,利用导数的几何意义求得切线方程;
(2)对函数进行求导得,对
分
和
两种情况进行分类讨论,研究导数值的正负,从而得到函数的单调区间;
(3)证明不等式成立等价于证明
成立,再构造函数进行证明.
(1)当时,
.
所以,
所以,又
.
所以曲线在点处的切线方程为
,
即.
(2)易得(
).
①当时,
,此时
在
上单调递增;
②当时,令
,得
.
则当时,
,此时
在
上单调递增;
当时,
,此时
在
上单调递减.
综上所述,当时,函数
在区间
上单调递增;
当时,函数
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
(3)由(2)知,当时,
在
处取得最大值,
即
,
则等价于
,即
,
即.(※)
令,则
.不妨设
(
),
所以(
).
从而,当时,
;当
时,
,
所以函数在区间
上单调递增;在区间
上单调递减.
故当时
.
所以当时,总有
.
即当时,不等式(※)总成立,
故当时,
成立.
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