题目内容
【题目】已知函数在区间上的最大值为,最小值为,记,;
(1)求实数、的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的范围;
(3)对于定义在上的函数,设,,用任意将划分成个小区间,其中,若存在一个常数,使得不等式恒成立,则称函数为在上的有界变差函数,试证明函数是在上的有界变差函数,并求出的最小值;
【答案】(1),;(2);(3)证明见解析,;
【解析】
(1)由已知在区间上的最大值为4,最小值为1,结合函数的单调性及最值,易构造关于的方程组,解得的值。
(2)求出,对任意恒成立等价于恒成立,求实数的范围。
(3)根据有界变差函数的定义,我们先将区间进行划分,进而判断是否恒成立,进而得到结论。
(1)因为,因为,对称轴
所以在区间上是增函数,
又函数在区间上的最大值为,最小值为
所以
解得:
所以
故实数
(2)由(1)可知
因为,所以
因为对任意恒成立,
令
根据二次函数的图像和性质可得:
则
令,则
解得:
即
所以
(3)函数为上的有界变差函数,又为上的单增函数,
且对任意划分
有
所以
所以存在常数M使得恒成立,即
练习册系列答案
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安全出口编号 | ①② | ②③ | ③④ | ④⑤ | ①⑤ |
疏散乘客时间(s) | 120 | 220 | 160 | 140 | 200 |
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是( )
A. ①B. ②C. ④D. ⑤