题目内容
【题目】已知抛物线:
,过其焦点
作斜率为1的直线交抛物线
于
,
两点,且线段
的中点的纵坐标为4.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若不过原点且斜率存在的直线
与抛物线
相交于
、
两点,且
.求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据线段的中点的纵坐标为4,直线
的斜率为1,利用抛物线的方程,求解
,即可得到抛物线的方程;
(2)设直线:
,联立方程组,利用根与系数的关系,求得
,
,再由
得
,即可得到结论.
(1)设,
两点的坐标分别为
,
,
则,
,两式相减得
.
即,
又线段的中点的纵坐标为4,直线
的斜率为1,∴
,∴
.
即抛物线的标准方程为
.
(2)设直线:
与抛物线
:
交于点
,
,
则,
,∴
,
∴,
,
由得
,即
,
,
直线为,∴
过定点
.
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