Question

10．已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为2+ln2．

Answer 1

分析 由题意，求出A，B两点的坐标，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：由题意，A（lnm，m），B（2${e}^{m-\frac{1}{2}}$，m），其中2${e}^{m-\frac{1}{2}}$＞lnm，且m＞0，
∴|AB|=2${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm，
设y=2${e}^{x-\frac{1}{2}}$-lnx（x＞0），则y′=2${e}^{x-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{x}$，
令y′=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴0＜x＜$\frac{1}{2}$时，y′＜0；x＞$\frac{1}{2}$时，y′＞0，
∴y=-lnx（x＞0）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
∴x=$\frac{1}{2}$时，|AB|_min=2+ln2．
故答案为：2+2ln2．

点评 本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题