Question

（2013•崇明县二模）已知椭C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F₁，F₂为顶点的三角形周长是4+2

3

，且∠BF₁F₂=

π

6

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点Q（1，

1

2

）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）利用以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F₁，F₂为顶点的三角形周长是4+2

3

，且∠BF₁F₂=

π

6

，建立方程，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆C的标准方程；
（2）当斜率l不存在时，过点Q（1，

1

2

）引曲线C的弦AB不被点Q平分；当直线l的斜率为k时，设方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及过点Q（1，

1

2

）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，建立方程，即可求得结论．

解答：解：（1）∵以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F₁，F₂为顶点的三角形周长是4+2

3

，且∠BF₁F₂=

π

6

．
∴2a+2c=4+2

3

，

3

2

a=c，
∴a=2，c=

3

∴b=

a2-c2

=1
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，过点Q（1，

1

2

）引曲线C的弦AB不被点Q平分；
当直线l的斜率为k时，l：y-

1

2

=k（x-1）与椭圆方程联立，消元可得（1+4k²）x²-4k（2k-1）x+（1-2k）²-4=0
∵过点Q（1，

1

2

）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，
∴

4k(2k-1)

1+4k2

=2，
∴解得k=-

1

2

．
∵

1

4

+

1

4

＜1
∴点Q在椭圆内
∴直线l：y-

1

2

=-

1

2

（x-1），即l：y=-

1

2

x+1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦中点问题，正确运用韦达定理是关键．