[题目]已知F为抛物线焦点.A为抛物线C上的一动点.抛物线C在A处的切线交y轴于点B.以FA.FB为邻边作平行四边形FAMB.(1)证明:点M在一条定直线上,(2)记点M所在定直线为l.与y轴交于点N.MF与抛物线C交于P.Q两点.求的面积的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知F为抛物线焦点，A为抛物线C上的一动点，抛物线C在A处的切线交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB.

（1）证明：点M在一条定直线上；

（2）记点M所在定直线为l，与y轴交于点N，MF与抛物线C交于P，Q两点，求的面积的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

(1) 设,求导可得切线斜率,即可求出切线方程,得出点坐标,求出的中点为,由又为的中点可得,即证得结论;

(2) 由(1)可求得直线MF的方程: ,及与抛物线方程联立,借助韦达定理,弦长公式及点到直线的距离公式即可求得面积.

(1)证明:设,则在处的切线斜率为.

所以切线方程为:,令得即.

记的中点为,则.又,因为四边形为平行四边形,即又为的中点,所以,即点在定值线

(2) 由（1）可知直线的方程: ,设联立,化简得,

,则,点到直线的距离为,所以面积为,即面积取值范围为.

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