题目内容
【题目】在直角坐标系中,曲线
上的点均在曲线
外,且对
上任意一点
,
到直线
的距离等于该点与曲线
上点的距离的最小值.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点的直线与曲线
交于不同的两点
、
,过点
的直线与曲线
交于另一点
,且直线
过点
,求证:直线
过定点.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)设,则
到直线
的距离等于
,又
到圆
上的点的距离的最小值为
,将
,化简可得结果;(2)设点
,可得直线
的方程,直线
的方程与直线
的方程,结合点
在直线
上,可得直线
的方程得
,从而可得结果.
详解:(1)由已知得曲线是以
为圆心,
为半径的圆.
设,则
到直线
的距离等于
,又
到圆
上的点的距离的最小值为
,
所以由已知可得
,化简得
,
所以曲线的方程为
.
(2)设点,易得直线
的斜率均存在,
从而直线的斜率
,
所以直线的方程是
,
即,
同理直线的方程为
,
直线的方程为
,
点在直线
上,所以
,即
,
点在直线
上,
,即
,
化简得,
代入直线的方程得
,
即
直线
过定点
.
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