题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆E:
的左、右顶点分别为
、
,上、下顶点分别为
、
.设直线
倾斜角的余弦值为
,圆
与以线段
为直径的圆关于直线
对称.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)判断直线与圆
的位置关系,并说明理由;
(3)若圆的面积为
,求圆
的方程.
【答案】(1) (2)直线
与圆
相切,理由见解析 (3)
【解析】
(1)根据直线的倾斜角的余弦值为
,求出a,b的等量关系即可求解离心率;
(2)通过计算可得直线与以
为直径的圆相切,所以直线
与圆
相切;
(3)根据面积求出半径,依次列方程组求解参数的值.
解:(1)设椭圆E的焦距为2c(c>0),
因为直线的倾斜角的余弦值为
,所以
,
于是,即
,所以椭圆E的离心率
(2)由可设
,
,则
,
于是的方程为:
,
故的中点
到
的距离
,
又以为直径的圆的半径
,即有
,所以直线
与以
为直径的圆相切.
因为圆与以线段
为直径的圆关于直线
对称,
所以直线与圆
相切.
(3)由圆的面积为
知,圆半径为2,从而
,
设的中点
关于直线
:
的对称点为
,
则解得
.
所以,圆的方程为
.
【题目】某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质,特推出一款运动计步数的软件,所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包,大大增加了用户走步的积极性,所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”,统计了2019年1月份所有用户的日平均步数,规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”,步数在8000以下的为“非运动达人”,采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户,得到如下列联表:
运动达人 | 非运动达人 | 总计 | |
男 | 35 | 60 | |
女 | 26 | ||
总计 | 100 |
(1)(i)将列联表补充完整;
(ii)据此列联表判断,能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”?
(2)将频率视作概率,从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户,求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.
附: