Question

【题目】如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取中点为，根据几何关系，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；

（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.

（Ⅰ）取的中点，连接，.如下图所示：

因为，分别是线段和的中点，

所以是梯形的中位线，所以.

又，所以.

因为，，

所以四边形为平行四边形，所以.

所以，.

所以四边形为平行四边形，所以.

又平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）因为，且平面，

故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

如下图所示：

不妨设，则，

所以，，，，.

所以，，.

设平面的法向量为，

则所以

可取.

设直线与平面所成的角为，

则.

故可得直线与平面所成的角的正弦值为.