Question

【题目】已知，是椭圆的左右焦点，且椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，当直线过时周长为8.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若，是否存在定圆，使得动直线与之相切，若存在写出圆的方程，并求出的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.

【解析】

（Ⅰ）由题意可得，，，从而求出答案；

（Ⅱ）法1：设，，∵，∴，设点，点，代入椭圆方程相加得，从而可求出，可得，由此可求出答案；

法2：联立直线与椭圆方程得韦达定理的结论，代入到可得，从而，根据弦长公式，求出面积的范围．

解：（Ⅰ）由题意可得，，

故，又有，∴，

椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）法1：设，，∵，∴，

设点，点，

，两式相加得，

，

，∴，

，，

∴，．

法2：，

，

，

∴，

∴，

，

当时，，

当时，，当且仅当时取到等号，此时符合

∴．