Question

18．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，且a_n=$\frac{3n{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+n-1}$（n≥2，n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 利用“取倒数法”化简已知条件，通过等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=$\frac{3}{2}$，且满足a_n=$\frac{3n{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+n-1}$，（n≥2），∴$\frac{3n}{{a}_{n}}=\frac{n-1}{{a}_{n-1}}+2$，即$3（\frac{n}{{a}_{n}}-1）=\frac{n-1}{{a}_{n-1}}-1$．
∴数列{$\frac{n}{{a}_{n}}-1$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}-1$=$-\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
∴$\frac{n}{{a}_{n}}-1$=$-\frac{1}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}$=-$\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴a_n=$\frac{n•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$．

点评 熟练掌握取“取倒数法”和等比数列的通项公式是解题的关键．